Binomial Theorem

`    Factorial Notation  :For a natural number n , the factorial 

   of n is written as n! or ∟n & read as " n factorial " is the 

   productof n natural numbers from 1 to n .

            i.e. n! =n (n-1)(n-2)(n-3)(n-4) ........4 . 3 . 2 . 1

                       =n (n-1)!

                       =n.(n-1).(n-2)!

          e.g.

               0!=1

               1!=1 

               2!=2✕1=2.1=2

               3!=3✕2✕1=3.2.1=6

               4!=4✕3✕2✕1=4.3.2.1=24

               5! =5✕4✕3✕2✕1  =5.4.3.2.1=120

               6!=6✕5✕4✕3✕2✕1=6.5.4.3.2.1=720

               7! =7✕6✕5✕4✕3✕2✕1=7.6.5.4.3.2.1=5040

                        ......... so on.                    

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COMBINATION : A Combination of a set of n object taken r 

        at a time without repetition is known as Combination in                        Mathematics

        i.e.   Out of n object if r object is selected at time , 

           where order is not important. It is denoted by 

            nCr or C(n ,r) or nCr .

                        nCr =        n!        =    n!/r!(n-r)!

                                   r! (n-r)!

                e.g.    10C4 =10!/ 4! (10-4)! 

                                    =    10.9.8.7.6!    

                                           4.3.2.1.  6!

                                             =  10.9.8.7       = 210

                                           4.3.2.1

           The  Above calculation is according to the defination

             of Combination.

             The Calculation can also be done like this .

                  10C4 =    10.9.8.7        

                             4.3.2.1 

                20C6 =  20.19.18.17.16.15   

                               6.5.4.3.2.1

  i.e. If the value of r is 4 then just write 

Product of n to (n-3) narural number in the numerator 

and Product of 4 natural number from1to 4 in denominator 

     as in 1st example.

                 Note : nC0=nCn=1 & nC1=n

                 Bionomial Theorem  :

                             (a+b)¹ = a + b

                             (a+b)²=  a² +2ab+ b²    

                   (a+b)³= a³ + 3a²b + 3ab² + b³

                   (a+b)⁴= ?

           When the higher powers of  (a+b) comes then it 

       becomes difficult for us to remember. If someone 

           asks us what is 29th power of (a+b) =?

     Then it becomes difficult for us to answer . 

     At that time we can use Binomial Theorem

        to Find Higher Powers of (a+b) or any variable.

READ THE BLOG ON PHYSICS & PHYSICAL QUANTITIES

     Binomial Theorem : For a,b∊R and n∊N

(a+b)ⁿ =nC0aⁿbº +nC1aⁿ⁻¹b¹ +nC2aⁿ⁻²b²+nC3aⁿ⁻³b³ +........+nCnaºbⁿ

  For Example :

 (a+b)⁴ = 4C0 a⁴ b⁰+4C1a³b¹ +4C2 a²b² +4C3 a¹b³+4C4 a⁰b⁴

            = a⁴ b⁰+4C1a³b¹+4C2 a²b² +4C3 a¹b³ +b⁴    (4C0=4C1=1)

(a+b)⁴= a⁴ +4a³b¹ +6a²b² +4a¹b³ +b⁴   

  Simillarly we can calculate          

 1)    (a+b)⁵ 

= a⁵+5a⁴b¹ +10 a³b² +10a²b³ +5a¹b⁴+b⁵ 

2) (a+b)⁶ 

 =a⁶+6a⁵b¹+15a⁴b²+20a³b³+15a²b⁴+6a¹b⁵+b⁶

3) (a+b)⁷

=a⁷+7a⁶b¹+21a⁵b²+35a⁴b³+35a³b⁴+21a²b⁵+7a¹b⁶+b⁷

 This way we can calculate any power of (a+b) by using Binomial Expansion.

     Note :

       1) In the expansion of (a+b)ⁿ contains (n+1) terms .

   For Example (a+b)² contain 3 terms , (a+b)³ contains 4 terms & so on .

    Expansion contain one more term  than the power of expansion.

        2) First term is alway aⁿ & last term is bⁿ  .

            For Example in the expansion of  (a+b)² first term is a² 

            and last term is b².

     In Example of (a+b)³ , First term is a³ and last term is b³ so on .

      3) In each term , the sum of  power of each term

            i.e a &b is alway n

     For example in the expansion of (a+b)², power of 1st term is 2 , 

      in second term sum of power of a & b is 2 and 

      Power of last term is also 2.

      simillarly in (A+b)³& so on

       4) In the successive term in the expansion we can

    see that power of a decreases by 1 and Power of b increases by one.

Binomial Theorem can used for negative term also .

          For example 

    (a-b)⁴= a⁴-4a³b¹+6 a²b² - 4a¹b³ +b⁴   

   (a-b)⁵= a⁵-5a⁴b¹+10 a³b²-10a²b³ +5a¹b⁴- b⁵ 

    Here we can note that First term is +ve , 

     second term is negative & so on. i.e. 

        Alternate terms are +ve & -ve .

   Binomial can also used for fractional & negative powers also .

        1/1+x = (1+x)⁻¹  =1-x+x²-x³+x⁴-x⁵+.......

        1/1-x =(1-x)⁻¹  = 1+x+x²+x³+x⁴+x⁵+.......

  1/(1+x)²  = (1+x)⁻²  =1-2x+3x²-4x³+........

  1/(1-x)²  =(1-x)⁻²  =1+2x+3x²+4x³+......

1/√(1+x)  =(1+x)⁻¹/²  = 1+x/2-x²/8+x³/16+........

  1/√(1-x) =(1-x)⁻¹/² =  1-x/2-x²/8-x³/16-.........

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11

ANGLE & IT'S TYPES

                

                        ANGLE   &  IT'S  TYPES 

ANGLE : An angle is the figure formed by two rays joined together at a common point called vertex .

         Two rays acts as sides of angle.

If OA is initial arm &OB is final arm as in fig1.The rotation of initial arm is in anticlockwise direction .

Then the angle formed is known as positive angle .

If OB is initial arm & OA is final arm as in fig2.The rotation of initial arm is in clockwise direction. Then the angle formed is known as Negative angle.

          Fig.1                                 Fig.2

   Angle formed by two ray generally lie in the same plane.

  Intersection of two planes also formed the angle,which is known as Dihedral angles. 

The angles are measured in 

1)Degree (Sexagesimal system)

2) Radian (Circular system).

There are different types of angles in geometry.

1)Right angle  :  An angle who measure is 90 degree is known as right angle.

                  

2)Acute angle  : An angle who measure is less than 90 degree is known as acute angle.

3)Obtuse angle  : An angle who measure is more than 90 degree is known as obtuse angle.

  Read the Blog on limits , Derivatives & Integration

4)Straight angle  :When two rays join together in opposite direction at a common point they form a straight angle.

  A  straight angle is also called as flat angle .

       It's measure is 180 degree .

5)Zero angle  : An angle whose measure is zero degree is called a zero angle.

  It is formed when both the rays which formed the side of angle lie in the same line or they overlap each other or they coincide with each other .

Ray OA & RayOB Coincide with each other .

6)Reflex angle : A reflex angle is an angle which is more than 180 degree but less than 360 degree.

   If one angle is more than 180 degree than other angle formed in a plane can be either acute or obtuse 

i.e opposite of reflex angle is either acute or             obtuse .

7)Directed angle : The ordered pair of rays (OA,OB) together with the ROTATION OF THE RAY OA to the position of the ray OB is called the directed angle AOB.

  If the rotation of the initial ray is anticlockwise then the measure of directed angle is cosidered positive and if the rotation is clockwise then the measure of the angle is considered as negative.

READ THE BLOG ON DIFFERENCE BETWEEN BACTERIA & VIRUSES

8)One rotation angle :After one complete rotation  if the initial ray OA coincide with the final ray i.e terminal ray OB then the angle so formed is known as one rotation angle. For example 360 Degree.

9)Standard angle : If the vertex of the angle is at the origin and the initial ray is along positive direction of x -axis of the coordinate system , such angle is known as  standard angle.

Angle POX , AngleXOQ , Angle XOR are          standard angles .

10)Quadrantal Angle : A directed angle in standard position whose terminal ray lie along X-axix or Y-axis is called a quadrantal angle.

Angle POQ , Angle POR , Angle POS , Angle POQ (Clockwise) are quadrantal angles.

11)Co- terminal angles : Directed angles of different amount of rotation having the same position of initial and final rays are known as Co-terminal angles.

Angle AOB (30 degree) , Angle AOB (-330 degree) , Angle AOB (390 degree) are Co-terminal angles. 

12)Supplementary angle : When sum of measure of two angle is 180 Degree then those angles are known as supplementary angle. Eg. If one angle is 60 Degree then it's supplementary angle is 120 Degree.

13) Complementary Angle : When sum of measure of two angle is 90 Degree then those angles are known as Complementary angles.

14) Adjacent angles : Two angles are said to be adjacent if 1)They have common vertex 2)they have one side common & 3) both the angles are on opposite side of common side.

Angle  CBD & angle DBE are adjacent angle .

Angle ABC & Angle CBD are adjacent angle . 

But Angle ABC & angle DBE are not adjacent angle .

15)Vertically opposite angles : Two angles are said to be vertically opposite if they are formed when two lines intersect at a common point & they are formed in opposite direction.      

                  Angle AOC & Angle DOB

                 Angle  AOD & Angle COB are                                        vertically opposite angles.

Their measure is same.

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16 ) FOR TWO PARALLEL LINE :

 If the two line are parallel (i.e. two line never intersect each other) & a transeverse intersect the two parallel lines at two different points  then following angles are formed .

1)Alternate angles 

2)Corresponding angles

3)interior angle 

4)Exterior angle

5)Vertcally opposite angle

 

          from fig.

1)Alternate angles are of equal measures 

            & they are : 

            Angle c & angle e

            Angle b & angle h

2)Corrosponding angles are ...

            Angle d & angle h

            angle c & angle g

            angle a & angle e

            angle b & angle f

            

3)Interior angles are :

     Angle c , angle h , angle b , angle e

     Aso   angle c+ angle h =180degree

    &  angle b+ angle e = 180 degree 

4) Exterior angles are :

      Angle d & angle g

       Angle a & angle f

5) Vertically opposite angles are :

           angle d & angle b

           angle a & angle c

           angle h & angle f

           angle e & angle g

   

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17) Plane Angle  :     An Angle between two Intersecting lines is                            known as plane angle in the same plane .  

                  It is measured in Radian. 

                   It is defined in two dimension .

In case of circle it is define as angle subtended by arc at the centre of the circle .

18) Solid Angle  : It is 3 Dimensional angular volume .

              It is measured in steradians. If the surface covers the                         entire sphere then the solid angle subtended at the center is 4 pi radian . Solid angle concept is generally used in physics.

19) Space Angle :  

It is a angle between a line and a Plane in the space . 

It is also angle between two plane in the space. 

It is also an angle between two line in the space.

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  गुरुदक्षिणा 

कलाकार : शिक्षिका (रिटायर्ड ) ,६४ साल 

                       विद्यार्थी   :  ३०-३५  साल   (३-४  विद्यार्थी ) 

                           (सड़क पर खड़े कुछ लोग )

SCENE 1 : ( सड़क । दिन )

एक बस स्टॉप पर एक पागल औरत भिक मांग रही है। 

  (भिखारन  एक फटेहाल स्थिति में है ,शरीर से बदबू आ रही है। काली कलूटी,बाल बिखरे हुआ है ,वह जिसके पास भी जाती है ,लोग धक्के मारकर उसे भगा देते हैं। ) तभी अचानक एक गाड़ी वह से गुजर रही होती है। गाड़ी में बैठे  शख्श की नजर उस भिखारन  पर पड़ती है। वह आदमी आश्चर्य  चकित हो जाता है , तब तक गाड़ी कुछ आगे निकल जाती है।  वह अपने ड्राइवर से गाड़ी रिवर्स लेकर उस भिखारन के पास रुकाने के लिए कहता है। ड्राइवर गाड़ी आगे से रिवर्स लेकर उस भिखारन के पास आकर  रुक जाता है। तभी वह आदमी उस गाड़ी से बाहर आकर ,उस भिखारन की तरफ जाता है। )

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विनय : टीचर आप , इस हाल में। 

भिखारन : हूँ, (भिखारन अपने आप में ही बड़ बड़ा रही है )

विनय  : टीचर मै आपका स्टूडेंट हूँ ,आपने मुझे स्कूल में मैथ्स पढ़ाया था। 

भिखारन : (अपने आप में ही लगी हुई है , मुझे मत मारो,मुझे मत मारो , मैंने बहुत दिनों से कुछ नहीं खाया है , ऐसा कह कर वह रोने लगती है।फिर अचानक  खुद ही कहने लगती है ,मुझे कुछ नहीं चाहिए , मुझे यहाँ से मत भगाओ । )

   ( भिखारन की यह दयनीय स्थिति देखकर  विनय की आँखो  में पानी आ जाता है , वह अपने दोस्तों को फ़ोन करता है।दूसरी तरफ से गणेश फ़ोन उठाता है। 

विनय  : गणेश , गणेश। 

Scene 2 (intercut )

गणेश : अरे  , विनय  बहुत दिनों बाद याद  किया दोस्त को। 

विनय  : अरे गणेश ओ अपनी  मैथ्स  टीचर  थी ना 9 -10 TH में। 

गणेश  : हा , भाई  क्या पढ़ाती थी ना। किधर हैं वो। 

विनय  : अरे , आज मैं  पास की सड़क से गुजरा रहा था , तो मैंने एक भिखारन को भिक मंगाते देखा ,और..... 

गणेश  : (बीच में ही बोल  पडता है ) वो तो रोज का है।  रोड पर तो बहुत से भिखारी भिक माँगते रहते हैं , उसमे नया क्या है ...... 

विनय : लेकिन जिस भिखारन को मैंने देखा वह हमारी मैथ्स टीचर थी। 

गणेश : क्या बात करा रहा बे , आज ज्यादा चढ़ा लिया है क्या। 

विनय  : नहीं नहीं , वो अपनी मैथ्स टीचर ही है , मैं उनके पास खड़ा हूँ। 

गणेश  : (स्थिति की गंभीरता को समझते हुए ) किधर है तू  , मैं अभी राकेश , आनंद और गीता को लेकर आता हूँ। तू वही पर रुक। 

विनय : मैं आनंद नगर वाले रोड पर हूँ ,जल्दी आ जाओ , मै यही पर रुकता हूँ। 

( तभी गणेश आपने दोस्तों को फ़ोन करता है , और सब उन लोगो को उस घटना के बारे में बताता है , सभी अपने -अपने ठिकाने से उस जगह के लिए निकल पड़ते है। तभी विनय वहाँ पर मौजूद लोगो से उस भिखारन के बारे में पूछता है। )

SCENE 1 (INTERCUT )

एक आदमी : मैं तो इस पागल को कितने दिनों से यही आसपास भीख मंगाते हुए देखता हूँ , लोग बताते है बहुत पढ़ी लिखी है , इंगलिश में भी बाते करती है , कभी कभी। 

विनय  : हाँ , ये हमारी टीचर है , हमको मैथ्स पढ़ाती थी , लेकिन इनकी ये दशा कैसे हुई। 

( तभी वहां पर खड़ा एक आदमी बोल पड़ता है )

दूसरा आदमी : सुना है ,किसी स्कूल में टीचर थी , लेकिन रिटायर होने के बाद जो भी पैसे उन्हें मिले थे , उसके बेटे -बहु ने सब हड़प लिए , और उसको घर से बाहर निकाल दिया, तब से पागलो  की तरह यहाँ वहाँ घूमती रहती है। 

पहला आदमी : कभी कभी कोई  खाना दे देता है , कुछ लोग धक्के मारकर भगा भी देते है। ये बिचारी  यहाँ वहा पड़ी रहती हैं। 

( तभी सब दोस्त आ जाते है , अपनी गाड़ी से उतरते हुए )

गणेश : विनय कहा है टीचर , कहाँ है। .

(सभी दोस्त अपनी टीचर की स्थिति को देखकर भावुक हो , सभी एक स्वर में बोलते है ,इन्हे यहाँ से ले चलो , परन्तु वह पागल वहाँ  से उठने को तैयार नहीं होती , परन्तु सभी स्टूडेंट अपनी टीचर को गीता (एक स्टूडेंट) के सहारे उठा कर विनय के घर लाते है , विनय अपनी  माँ को सब बताता है। वहाँ पर गीता और अपनी माँ की मदत से उसे नहलाया  जाता है , विनय की माँ के उसे अपने कपडे  पहनने के लिए देती है। क़ुछ समय बाद जब टीचर नहा कर गीता की मदत से बाहर आती है , उस समय उन्हे अपनी वास्तविक टीचर के दर्शन होते है। )   

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SCENE 3 (विनय का घर /दिन )

विनय  : (अपनी माँ की तरफ देखते हुए ) माँ मैं सोच रहा था  ... (तभी उसकी माँ स्वयं बोल  पड़ती  है। )

माँ  : हाँ , मैं भी यही सोच रही थी की क्यों न इनको अपने घर ही रख लिया जाए , यही ना।

विनय : हाँ , माँ , मेरी प्यारी माँ (ऐसा बोल कर वह माँ को गले लगा  लेता है। 

(बाकि भी सभी दोस्त बोल पड़ते है ऐसा नहीं चलेगा , हम भी तुम्हे हर महीने कुछ न कुछ मदत कर दिया करेंगे )

विनय : बस हो गया तुम लोगो का ,मैं इतना तो कमाता ही हूँ की आठ -दस लोगो का पेट भर हूँ। 

सभी दोस्त एक साथ में : नहीं ऐसे चलेगा , हर महीने  जिससे जो भी बन पड़ेगा वह ,आकर दे जाया करेगा , आखिर हमारी भी टीचर है ,हमें भी अपनी गुरुदक्षिणा देने का मौका मिलाना चाहिए , हमारा भी तो फर्ज बनता है। 

माँ  :हाँ  भई  हाँ ,जिसको जो करना है ,करना अभी उनको आराम  करने दो , यह बोल कर सब हॅसने लगते है ।   ( टीचर उन लोगो की तरफ देखती रहती है  और अपने आप में कुछ न कुछ बढ़ बढ़ाती रहती हैं , उसे लोग समझा बुझा कर  सुला देते है ) और आपस में बात करने लगते है। 

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LIMITS , DERIVATIVES & INTEGRATION FORMULAE ......

 

                       Limits  , Derivatives & Integration Formulae

                                CALCULUS  FORMULAE

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                                                       FORMULAE  OF  LIMITS :   

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  FORMULAE  ON  DERIVATIES 

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 Read Blog on Trigonometric Formulae .

FORMULAE  ON  INTEGRATION

 

                                     

Read Blog On PHYSICS ..

 

 

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 CONTRIBUTION BY  DEVANSHI  SHAH

                                                                                      (STUDENT)

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UNITS AND DIMENSIONS OF PHYSICAL QUANTITIES IN PHYSICS ...

                                                    UNITS  AND DIMENSIONS 

      SR.NO.                   PHYSICAL  QUANTITIES                 UNIT                                DIMENSION

       1                               DISTANCE                                       m , cm                                 M   L   T

       2                               DISPLACEMENT                           m  , cm

       3                               SPEED                                            m/sec , cm/sec

       4                               VELOCITY                                  m/sec , cm/se

       5                                ACCELERATION                        m/sec² , cm/sec²

       6                                MASS                                             kg  .gm

       7                                TIME                                               sec

       8                                FORCE                                       Newton ,dyne

       9                                WORK                                         joule , erg

      10                               POWER                                             Watt , j/sec

      11                              AREA                                                  m² , cm²

      12                              VOLUME                                            m³ ,  cm³ 

      13                              LENGHT                                                m , cm

      14                             DENSITY                                          kg/m³ ,  gm/cm³

      15                             MOMENTUM                              kg m/sec  , gm cm/sec

      16                             PRESSURE                                  Newton/m² . dyne/cm²

      17                             TEMPRATURE                          kelvin

      18                              TORQUE                                   Newton m , dyne cm

      19                              IMPULSE                                 Newton sec

      20                              CURRENT                               Ampere

      21                              CHARGE                                 coulomb

     22                             KINETIC ENERGY                    joule , erg

     23                             POTENTIAL ENERGY               joule ,erg

     24                             SURFACE TENSION                   N/m . dyne/cm

     25                             SURFACE  ENERGY                     joule

     26         RADIUS OF GYRATION                                   m , cm

     27         FREQUENCY                                                      Hertz  , cps

    28          ENERGY                                                                         joule

    29          ELECTRIC POTENTIAL                                             volt

    30          ELECTRIC  RESISTANCE                                      ohm

    31         ELECTRIC  CONDUCTANCE                             /ohm , Siemen

    32         ELECTRIC      CAPACITANCE                              farad

    33         MAGNETIC     FLUX                                                   Weber

   34          INDUCTANCE                                                                Henry

   35          MAGNETIC  FLUX   DENSITY                             Wb/m²

   36          ILLUMINATION                                                  lux

   37         LUMINOUS  FLUX                                                  cd 

   38         SPECIFIC  HEAT                                           J/Kkg

   39         SPECIFIC    VOLUME                              meter cube/kg

  40          STEFAN'S  CONSTANCE

  41          STRESS

 42           STRAIN

 43           TEMPERATURE   GRADIANT

 44           VELOCITY    GRADIANT

 45           UNIVERSAL GRAVITATIONAL   CONSTANT

 46           UNIVERSAL GAS   CONSTANT 

 47           ANGLE

 48           SOLID ANGLE

 49           WEIGHT

 50           RADIOACTIVITY

 51           INTENSITY OF LIGHT

 52          QUANTITY  OF  SUBSTANCE

 53          CURRENT  DENSITY

 54          MAGNETIC  INDUCTION

 55          ANGULAR    DISPLACEMENT

 56          ANGULAR  VELOCITY

 57          ANGULAR  ACCELERATION

 58          ANGULAR MOMENTUM

 59          CENTRIPETAL  FORCE

 60          FARADAY  CONSTANT

 61          HEAT

 62         HEAT    CAPACITY

 63         MAGNETIC MOMENT

 64         MAGNETIC DIPOLE MOMENT

  65        MAGNETIC SUSCEPTIBILITY

  66        COEFFICIENT  OF  VISCOSITY

 67         WAVE LENGHT

 68         WAVE NUMBER

 69         THERMAL   CONDUCTIVITY

 70        ELECTRICAL   CONDUCTIVITY

 71       ELECTRICAL   DIPOLE MOMENT

 72        ELECTRIC  FIELD

 73        ELECTRIC  FLUX                                 Nm²/C

 74       PERMITIVITY  OF FREE  SPACE            H/m

 75      PERMEABILITY OF SPACE              

 76         SPRING  CONSTANT                           N/m

77        MODULUS   OF  ELASTICITY             N/m²

78            YOUNG,S   MODULUS                      N/m²

79             BULK  MODULUS                           N/m²

80               RIGIDITY  MODULUS                     Newton/square meter

81              CONDUCTANCE                                /ohm

82               CONDUCTIVITY                                /ohm meter

83            RESITIVITY                                               Ohm meter

84         COEFFICIENT OF   FRICTION               NO UNIT

85          EQUIVALENT  CONDUCTANCE            /ohm m²

86        MOLAR    CONDUCTANCE                      /ohm .m² . /mole